Résistance des matériaux

 A3-22 Identifier les contraintes, les déformations et les sollicitations d’un solideB2-10 Choisir un modèle de solide (indéformable ou déformable) en fonction de l’objectif viséB2-14 Déterminer le torseur de cohésion dans un solideB2-15 Associer un modèle de contraintes à l’état de sollicitationC2-25 Déterminer la répartition des contraintes dans une section droiteC2-26 Vérifier la résistance mécanique d’une poutre droiteC2-27 Déterminer le coefficient de sécurité par rapport aux exigences du cahier des charges fonctionnelC2-28 Déterminer l’équation de la flèche dans une poutre droite soumise à de la flexion, avec charge
ments ponctuels ou répartition linéique constante de la charge

Sommaire 1 Contraintes	5
1.1 Contraintes dans un matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
1.2 État de contrainte en un point	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
2 Hypothèses de la résistance des matériaux	6
2.1 Hypothèses géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	6
2.2 Hypothèses sur les matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
2.3 Hypothèse de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
2.4 Hypothèses sur les déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
2.5 Hypothèse de Saint-Venant	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
3 Déformations	8
3.1 Torseur des petits déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
3.2 Petits déplacements d’une section droite par rapport à une autre section droite en RdM	9
3.3 Déformations autour d’un point d’une section droite	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
4 Torseur de cohésion	11
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
4.2 Détermination du torseur de cohésion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
4.3 Identification des sollicitations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
4.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
5 Contrainte de Traction/Compression	14
5.1 Exemple : pilier d’un bâtiment	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
5.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
5.3 Relation contrainte-effort normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
5.4 Analyse de la déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
5.4.1 Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
5.4.2 Expression de la déformation élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
5.5 Dimensionnement d’une poutre en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16

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5.5.1 Critère en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.5.2 Critère en déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Contrainte de Flexion 186.1 Exemple : flexion d’un pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.3 Analyse de la déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6.4 Expression de la contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.5 Expression de la déformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.6 Moment quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.6.2 Exemples de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.6.3 Théorème de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.7 Dimensionnement d’une poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Contrainte de Cisaillement (pour information...) 227.1 Exemple : cisaillement d’un boulon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3 Relation contrainte-effort tranchant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7.4 Analyse de la déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.5 Dimensionnement d’une poutre en cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Contrainte de Torsion 248.1 Exemple : barre de torsion du capteur de couple de la DAE . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.3 Hypothèses complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.4 Déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.5 Répartition des contraintes dans une section droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.6 Relation entre contrainte, angle unitaire de torsion et moment de torsion . . . . . . . . 26
8.7 Moment quadratique polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.8 Contrainte tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
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8.9 Relation déformation-rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.10 Dimensionnement d’une poutre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Concentration de contraintes 289.1 Description du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.2 Coefficient de concentration des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9.3 Dimensionnement d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810 Rappel de quelques caractéristiques mécaniques de certains matériaux 29
11 Cas particulier des poutres hyperstatiques 2911.1 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
11.2 Utilisation du principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

 

Plus d'infos »

Rappels de cours
et exercices avec solutions

Table des matieres

 

Table des mati`eres1 Elasticit´e ´ 11.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 D´eplacements et d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Loi de comportement ou loi constitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Cas particulier : ´etat de contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Formules math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 M´ethode des ´el´ements finis : approche r´esistance des mat´eriaux 252.1 Rappels : r´esolution d’un probl`eme stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Partition des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Calcul des d´eplacements inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Calcul des r´eactions d’appui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Poutre soumise `a un effort normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Treillis plans `a nœuds articul´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Poutre soumise `a un moment de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Flexion des poutres `a plan moyen : mod`ele de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 Rappels : flexion dans le plan {xy} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 M´ethodes ´energ´etiques : poutres 833.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.1 Expression de l’´energie de d´eformation en fonction des forces appliqu´ees : formule de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.2 Th´eor`eme de r´eciprocit´e de Maxwell-Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.3 Th´eor`eme de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.4 Th´eor`eme de M´enabr´ea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.5 Energie de d´eformation d’une poutre ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.6 Formules math´ematiques utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

II	Exercices de r´esistance des mat´eriaux
4 M´ethode des ´el´ements finis	121
4.1 Rappels	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1.1 Energie de d´eformation ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.2 Energie cin´etique ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.3 Energie potentielle et ´el´ements finis ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1.4 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.1 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.2 El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal ´ . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.3 Exercice : mise en ´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2.4 Exercice : mise en ´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.5 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.6 Exercice : contraintes et ´energie de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.7 El´ement de poutre droite soumis `a un effort normal ´ . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.8 Exercice : modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.9 El´ement fini de torsion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.10 El´ement fini de flexion : mod`ele de Bernoulli ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.2.11 Exercice : ´elasticit´e plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

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